Tipos de Matrices

Matriz fila:

Es una matriz constituida por una sola fila.

Matriz columna:

Es una matriz con una sola columna.

Matriz rectangular:

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada:

La que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1.

Matriz nula:

Todos los elementos son nulos.

Matriz triangular superior:

Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular inferior:

Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.

Matriz diagonal:

Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta:

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α · A)^t = α ·A^t

(A ·  B)^t = B^t · A^t

Matriz regular:

Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular:

Es aquella que no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente:

Si A² = A.

Matriz involutiva:

Si A² = I.

Matriz simétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A = A^t.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A = −A^t.

Matriz ortogonal:

Si verifica: A · A^t = I

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades

• Interna:
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Elemento neutro: A + 0 = A
• Elemento opuesto:A + (−A) = O
• Conmutativa: A + B = B + A
  

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades

• Asociativa:
  A · (B · C) = (A · B) · C
  
• Elemento neutro:
  A · I = A
  
• No es Conmutativa:
  A · B ≠ B · A
  
• Distributiva del producto respecto de la suma:
  A · (B + C) = A · B + A · C
  
  

Matriz inversa

A · A⁻¹  = A⁻¹ · A = I

Propiedades

(A · B)⁻¹  = B⁻¹ · A⁻¹
(A⁻¹ ) ⁻¹  = A
(k · A)⁻¹  = k⁻¹ · A⁻¹
(A ^t) ⁻¹  = (A ⁻¹) ^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A⁻¹, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

2º Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Cálculo por el método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

• Todos los coeficientes son ceros.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
• Una línea es combinación lineal de otras.